Exercício #2 - 26.04.2018 - 2359h /Função Trigonométrica

Tema:
Função Trigonométrica

Prazo:
26.04.2018 - 2359h

Importante

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Nome: Nicholas Cunha Borges
RA: 328272811025
Serie: 1º


1) Ache o valor de X no triangulo retângulo de angulo 30º.

Cateto oposto= 8
Hipotenusa= x


Seno= Cateto Oposto/ Hipotenusa

Sen 30º= 1/2

x/8= 1/2

x/4= 1/1

x=4

A expressão , com sen θ ≠ 1, é igual a:

Resolução:

Para resolver essa questão, precisamos nos lembrar da relação fundamental da trigonometria que garante que:

sen² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sen² θ

A partir disso, vamos substituir o valor encontrado para cos² θ na expressão

cos² θ = 1 – sen² θ
1 – sen θ  1 – sen θ  

Você deve concordar que podemos expressar 1 – sen² θ como 1² – sen θ. Essa pequena mudança ajuda a visualizar a presença do produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:

1² – sen θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)

Substituindo essa igualdade na expressão que estamos trabalhando, teremos:

cos² θ = 1 – sen² θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
1 – sen θ   1 – sen θ              1 – sen θ                

Dividindo o numerador e o denominador da expressão por (1 – sen θ), restará:

cos² θ = 1 + sen θ
1 – sen θ

Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:

Resolução:

Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:

cos 2x = 0,2
cos² x – sen² x = 0,2
cos² x = 0,2 + sen² x

Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:

sen² x + cos² x = 1
sen² x + (0,2 + sen² x) = 1
2.sen² x = 1 – 0,2
2.sen² x = 0,8
sen² x = 0,8
                   2
sen² x = 0,4

No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:

cos² x = 0,2 + sen² x
cos² x = 0,2 + 0,4
cos² x = 0,6

Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:

tg² x = sen² x
           cos² x
tg² x = 0,4
              0,6
tg² x = 4
             6
tg² x = 2
              3

Aline Ramos Antunes
RA: 330982311025
1° Período

Função Trigonométrica

Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x?

Essa função é do tipo: y = a + b.cos(mx)

O valor máximo é dado por: a + b
y = 10 + 5.cos(20x)
a => 10 b => 5
10 + 5 => 15 <= valor máximo da função.

Nome: Lucas de Marchi Cruz
1° Periodo
RA: 326839711025

Enunciado: Determine os valores de tg x, cotg x, sec x e cossec x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x encontra-se no 1° quadrante.

Resolução:

sen²x + cos²x = 1
sen²x + 4²/5² = 1
sen²x = 1 – 16/25
sen²x = 9/25
senx = 3/5

tgx = senx/cosx
tgx = (3/5)/(4/5)
tgx = (3/5)/(5/4)
tgx = 3/4

cotgx = 1/tgx
cotgx = 4/3

secx = 1/cosx
secx = (1)/(4/5)
secx = 1 * 5/4
secx = 5/4

cossecx = 1/senx
cossecx = (1)/(3/5)
cossecx = 1 * 5/3
cossecx = 5/3

Sávio Da silva Guimarães
RA:329725111024
1ºPeríodo

Determine o valor de tan(510°).

Determine os valores de tg x, cotg x, sec x e cossec x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x encontra-se no 1° quadrante.

Apesar de não ter sido solicitado o valor de sen x, precisamos identificá-lo para que possamos determinar os demais valores pedidos. Através da relação fundamental da trigonometria, temos:

sen² x + cos² x = 1

sen² x + 4² = 1
5²

sen² x = 1 – 16
25

sen² x = 9
25

sen x = 3
5

Vamos agora determinar o valor de tg x:

tg x = sen x
cos x

tg x =

tg x = 3 . 5
5 4

tg x = 3
4

Como cotg x é a função inversa de tg x, basta fazer:

cotg x = 1
tg x

cotg x = 4
3

Vamos determinar o valor de sec x:

sec x = 1
cos x

sec x =

sec x = 1 . 5
4

sec x = 5
4

Por fim, resta determinar o valor de cossec x:

cossec x = 1
sen x

cossec x =

cossec x = 1 . 5
3

cossec x = 5
3

Calcule o valor de y = senx * cosx sabendo que tgx + cotgx = 2.

tgx + cotgx = 2      ----->      senx / cosx + cosx / senx = 2

sen²x + cos²x / senx * cosx = 2

1 = 2senx* cosx     ----->   senx*cosx = 1/2


y = senx * cosx = 1/2

Nome: Uanderson Leandro Mendonça Moura
RA: 333654711025
1º Periodo


Determine o valor de sen(4290°).

Dividindo 4290 por 360, obtemos:

4290/360
=11


Assim, 4290=11.360+330, isto é, os arcos de medidas 4290° e 330° são côngruos. Então: sen(4290°)=sen(330°)=-1/2.

Questão 01: Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.

Resolução:

sen 30° = cat. oposto
              hipotenusa
1 = x
2   36
2x = 36
x = 36
     2

x = 18 m

Resposta : Letra E

Questão 02: Determine os valores de cos(3555°) e de sen(3555°)

Resolução:

Como 3555=9×360+315 segue que os arcos de medidas 3555° e 315° são congruentes, logo:

cos(3555°)=cos(315°)= √2/2
sen(3555°)=sen(315°)= -√2/2

Nome: Alek Sander Lopes Moço
RA : 209419411024
1º Periodo

Qual o conjunto solução da equação trigonométrica abaixo?

2.sen(3x) + 1 = 0



Resolução:

2.sen(3x) + 1 = 0

2.sen(3x) = – 1

sen(3x) = – 1/2



No ciclo trigonométrico existem dois arcos entre 0 e 2π cujo seno é igual a -1/2. São eles:

sen(-π/6) = -1/2

sen(7π/6) = -1/2



Assim,

3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = – π/6 + 2kπ, k∈Z.

Logo,

x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = – π/18 + 2kπ/3

De onde concluímos que o nosso conjunto solução será:

S = {x∈R / x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = – π/18 + 2kπ/3, k∈Z}

Encontre o domínio, o período e a imagem das funções:

a) f(x)=4-5sen(8x-3π)

Domínio: D=R

Período: P= 2π/8= π/4

Imagem: Im=[a-b,a+b]
Im=[4-(-5),4-5]
Im=[-1,9]

b) f(x)3-2tg(4x-3π)

Domínio: 4x-3π ≠ π/2 + kπ
4x ≠ 3π + π/2 + kπ
4x ≠ 6π + π/2 + kπ
4x ≠ 7π/2 + kπ
x ≠ 7π/8 + kπ/4
D= {x∈R/x ≠ 7π/8 + kπ/4, k∈Z}

Período: P=π/4

Imagem: Im=R

Determine o valor da expressão E=(senπ+cos2π)/(sen π/2):

π=180°
π≅3,14 rad

(180°)/2= 90°

E=(sen180°+cos360°)/(sen90°)
E=(0+1)/1
E=1/1
E=1

Matheus Veloso da Silva
RA: 333517711025 / 1º Série


Tema: função trigonométrica

01. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Seno 30º = 1/2

1/2 = x/1000

2x = 1000
x = 1000/2

x = 500m

A altura será de 500 metros.

O valor de cos 1200º é igual ao valor de:

a) cos 30º.

b) – sen 30º.

c) – sen 60º.

d) – cos 60º.

e) cos 45º

Resolução: Como o ciclo trigonométrico possui 360°, dividindo 1200° por esse valor temos:

1200°/360° = 3,333…

Então sabemos que 1200° representam 3 voltas no ciclo trigonométrico mais uma parte dele. Vamos encontrar essa parte:

3 . 360/ = 1080°

Subtraindo de 1200°:

1200° – 1080° = 120°.

Assim, temos que cos 1200° = cos 120°. No ciclo trigonométrico, cos 120° = – cos 60° e cos 60° = sen 30°. Portanto:

cos 120° = – sen 30°

Nome: Tiago Thiengo Vieira
RA: 166667011025
Série: 2

Enunciado:
Uma aeronave em voo faz uso de sinais de rádio trocados com uma antena em solo chamada DME (Distance Measuring Equipament), esta comunicação calcula a distância direta entre a aeronave e a antena no solo, sabendo que a aeronave está a 500 metros de distância horizontal da antena e que o ângulo formado entre o plano da trajetória direta entre a aeronave e o plano da distância horizontal é de 60°. Informe a altura do voo e a distância direta entre a aeronave e a antena, ambas em metros.

Solução:
Entendemos que a situação proposta nos leva a descrever um triangulo retangulo onde, a altura da aeronave e a distância horizontal entre a aeronave e a antena formam um angulo reto e elencam os catetos oposto (Altura do voo) e adjacente (Distância horizontal), com angulo de 60° formado entre o cateto adjacente(Distância horizontal) e o plano da distância direta entre a aeronave e a angtena no solo (Hipotenusa).

Para descobrirmos a altura do voo (Cateto Oposto) faremos uso da equação tanɵ = Cateto Oposto / Cateto Adjacente

Sendo assim:
tanɵ 60° = √3 = 1.73

1.73 = Cateto Oposto / 500

Cateto Oposto = 1,73 . 500  => 866 metros (Altura do voo)

Conhecendo a altura do voo (Cateto Oposto) e a distância horizontal (Cateto Adjacente) podemos aplicar a equação onde:

Hipotenusa ² = Cateto Oposto ² + Cateto Adjacente ²

Então:

Hipotenusa ² = 866 ² + 500 ²

Hipotenusa  = √999956

Hipotenusa  = 1000

Sendo assim, discobrimos que a distância direta da aeronave para a antena no solo é de aproximadamente 1000m e a altura do voo é de aproximadamente 866m.

Nome: Raquel Soares
Série: 1º
RA: 330577511025


O valor de x, 0 ≤ x ≤ π/2, tal que 4.(1 – sen2 x).(sec2 x – 1) = 3 é:

a) π/2.

b) π/3.

c) π/4.

d) π/6.

e) 0.

Resolução:

4.(1 – sen2 x).(sec2 x – 1) = 3

(1 – sen2 x).(sec2 x – 1) = 3/4

sec²x – 1 – sen²x.sec²x + sen²x = 3/4

sec²x = 1 + tg²x e secx = 1/cosx

1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cosx)² + sen²x = 3/4

1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cos²x) + sen²x = 3/4

1 + tg²x – 1 – sen²x/cos²x + sen²x = 3/4

senx/cosx = tgx

1 + tg²x – 1 – tg²x + sen²x = 3/4

sen²x = 3/4

senx = √3/√4

senx = √3/2 e -√3/2

senx = √3/2

x = π/3 e 2π/3

senx = -√3/2

x = 4π/3 e 5π/3

No intervalo 0 ≤ x ≤ π/2, x = π/3

Gabarito: letra B

Nome: Calvin Macedo Ribeiro Borges
Ra: 327266911025
1º Periodo

Enunciado:
Determine o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo de 60º sabendo que o cateto adjacente é igual a 0,2 cm

Solução:
hipotenusa= x
cateto oposto =y
cateto adjacente = 0,2

cos60º= 1/2= cateto adjacente/hipotenusa -> 1/2 = 0,2/x
x=0,4

sen60º= √3/2= cateto oposto/hipotenusa -> √3/2 = y/0,4
2y=0,4√3 -> y=0,2√3

cateto oposto = 0,2√3 cm
hipotenusa = 0,4cm

Nome: Victor da Mata Genario
RA: 163618311025
2º Período

Enunciado:
Dados uma parede com 8 metros de altura, para se fazer uma escada que tenha os degraus com 45 cm de base e 16 cm de altura calcule.

800  = 50 degraus                                                                                        16  =  45       16L= 45.800  L= 36.000 = 2.250cm
16                                                                                                                   800      L                      16

a² = 8²+22,5²                                                                                                1m = 100cm     2.250 = 100x  x= 2.250/100 = 22,5m
a² = 64+506,25                                                                                              x   = 2.250cm
a²=570,25
a=√570,25
a= 23,87

a) Quantos degraus teram a escada ?
R: 50 degraus
b) A que distancia será o inicio da escada ?
R: 22,5 metros
c)  Usando a escada como base calcule o comprimento de uma rampa .
R: 23,87 metros

Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de?

sen 30° = cat. oposto
hipotenusa
1 = x
2 36
2x = 36
x = 36
2
x = 18 m

Questão:As soluções da equação trigonométrica sen(2x) – 1/2 = 0, que estão na primeira determinação são:

a) x = π/12 ou x = 3π/24

b) x = π/12 ou x = 5π/12

c) x = π/6 ou x = 3π/12

d) x = π/6 ou x = 5π/24


Resolução:

sen(2x) – 1/2 = 0

sen(2x) = 1/2


Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6.

Assim, temos dois casos a considerar:

Caso 1:                                    Caso 2:

2x = π/6                                  2x = 5π/6

x = π/12                                  x = 5π/12


Resposta: B

Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o valor de sen(x)?

Como sen²(x)+cos²(x)=1, então:

sen²(x)+(-12/13)²=1

sen²(x)=1-(144/169)

sen²(x)=25/169

Como o ângulo x pertence ao segundo quadrante, o sen(x) deve ser positivo, logo:

sen(x)=5/13

Nome: Pedro césar
Ra:327625811025
1° período / Equação Trigonométrica

Qual o conjunto solução da equação trigonométrica abaixo?

2.sen(3x) + 1 = 0



Resolução:

2.sen(3x) + 1 = 0

2.sen(3x) = – 1

sen(3x) = – 1/2



No ciclo trigonométrico existem dois arcos entre 0 e 2π cujo seno é igual a -1/2. São eles:

sen(-π/6) = -1/2

sen(7π/6) = -1/2



Assim,

3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = – π/6 + 2kπ, k∈Z.

Logo,

x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = – π/18 + 2kπ/3

De onde concluímos que o nosso conjunto solução será:

S = {x∈R / x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = – π/18 + 2kπ/3, k∈Z}

Tema : Função trigonometrica

Enunciado :

Encontre o valor de seno ( 1530 graus ) e o valor de cosseno ( 1470 ) , determine :


Solução :

No primeiro caso temos o seno de 1530 graus subtraído por 4x360


1530 - 4x360
1530 - 1440 = 90°


0btendo esse valor seno de 90° achará o resultado final que é 1 .


No próximo caso temos o cosseno de 1470 graus subtraído por 4x360


1470 - 4x360
1470 - 1440 = 30 °


Com o valor obtido de cosseno de 30 ° achará o resultado final que é √ 3/2 .