Exercício #1 - 22.04.2018 - 2359h /Funcão Afim /Função Quadrática

Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3).

R: f(x) = ax + b

f(–1) = 3
f(–1) = a * (–1) + b
3 = – a + b

f(1) = –1
f(1) = a * 1 + b
–1 = a + b


Sistema de equações



Isolando b na 1ª equação
–a + b = 3
b = 3 + a

Substituindo o valor de b na 2ª equação

a + b = –1
a + 3 + a = –1
2a = –1 – 3
2a = –4
a = – 2

Substituindo o valor de a na 1ª equação

b = 3 + a
b = 3 – 2
b = 1

A função será dada pela expressão f(x) = – 2x + 1. O valor f(3) será igual a:

f(3) = –2 * 3 + 1
f(3) = – 6 + 1
f(3) =  – 5

O valor de f(3) na função f(x) = – 2x + 1 é igual a –5.

Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:

Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7

Emanuel Chamarelli da Silva Coelho
RA : 334300911025
1° Período - 1°Série


tema: Função quadrática

Enunciado :
Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0

Solução :
Os coeficientes dessa função são: a = 1, b = 3 e c = – 10.
Para resolver essa equação, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:


Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49

         x = – b ± √Δ
                   2.a

         x = – 3 ± √49
                    2.1

         x = – 3 ± 7
                      2

         x1 = – 3 + 7
                        2

          x1 = 4
                   2

          x1 = 2


          x2 = – 3 – 7
                          2

           x2 = – 10
                         2

            x2 = – 5

Os dois valores de x para que f(x) = 0 são x1 = 2 e x2 = – 5.

Lucas Alberto, RA: 134870011025, 1º Série.

Tema: Função Quadrática.
Enunciado: Determine a lei da função quadrática f, sabendo que f(1) = 2, f(0) = 3 e f(-1) = 6.

Solução:
f(x)= a.x² + b.x + c
f(0) = a.0 + b.0 + c = 3
c = 3

f(1) = a.1² + b.1 + 3 = 2
a + b + 3 = 2
a + b = -1

f(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + 3 = 6
a - b = 3

{a + b = -1
{a - b = 3
2.a = 2
a = 1

1 + b = -1
b = -2

f(x) = x² - 2.x + 3

Nome: Pedro César /Ra:327625811025
1° Série

Tema: função quadrática

Enunciado: Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Resolução : C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
temos uma função de segundo grau.

calculando as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60
R:Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

Resolva a função quadrática 2x² - 3x + 1:

2x² -3x + 1
a = 2 ; b = -3 ; c = 1

delta:
▲ = b² - 4.a.c

▲ = (-3)² - 4.2.1
▲ = 9 - 8
▲ = 1


bhaskara:
x = - b +- √▲
|          2.a

x = -(-3) +- √1
|           2.2

x = 3 +- 1
|         4

x¹ = 3 + 1 = 4 = 1
|          4        4

x² = 3 - 1 = 2 = 1 (0,5)
|         4        4    2

P.S.: botei a | só para os denominadores ficarem no lugar certo

Nome: Raquel Soares
Série: 1º
RA: 330577511025


O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi


Resolução:

Temos que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 tem como gráfico uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0).
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:

t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15

Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):

t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.

Victoria Braga
RA: 327095911025
1 serie

Tema: função afim

enunciado: A função R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses.

solução : R(1) = –1
R(1) = a * 1 + b
–1 = a + b
a + b = –1

R(2) = 1
R(2) = a * 2 + b
1 = 2a + b
2a + b = 1

Sistema de equações
{ a+b= -1
{2a+b=1




Isolando b na 1ª equação
a + b = –1
b = –1 – a
Substituindo o valor de b na 2ª equação
2a + b = 1
2a + (–1 – a) = 1
2a – 1 – a = 1
a = 1 + 1
a = 2



Substituindo o valor de a na 1ª equação
b = – 1 – a
b = –1 – 2
b = –3

A função será dada pela seguinte lei de formação: R(t) = 2t – 3.

Fazendo f(4), temos:

R(t) = 2 * 4 – 3
R(t) = 8 – 3
R(t) = 5



O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00.

Nome: Wilson H. Dias Mendes Júnior
Série: 1° período
RA: 327213911025


Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10


Resolução:


Vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:

a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5

R: 3,5

Nome: Rafaela Medeiros Moreno
RA: 333326411025
Série: 1°
Tema: Função Afim

Enunciado :
Um pai tem 44 anos e o filho, 8. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?

Solução:
Quando o pai tiver mais 1 ano, seu filho também terá mais 1 ano; quando o pai tiver mais 2 anos,seu filho também terá mais 2 anos e, sucessivamente, quando o pai tiver mais X anos, seu filho também terá mais X anos. Porém, nessa época, a idade do pai representará o triplo da idade do filho. Então,teremos a seguinte equação:
44 + x = 3(8 = x)
44 + x = 24 + 3x
x - 3x = 24 - 44
-2 x = -20
x = -10(-1)
x = 10

Daqui a 10 anos a idade do pai será o triplo da idade do filho.
Hoje o pai tem 44 anos e daqui a 10 anos ele terá 54 anos.
O filho que hoje tem 8 anos daqui a 10 anos terá 18 anos.
18 x 3 = 54

Observe a função y= -2x²-x+3 e determine se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo. Dê também os vértices da função:

A concavidade dessa função é voltada para baixo pois o A é menor que 0.

Vértices: Xv = -b/2a = -(-1)/2a= 1/-4 = -0,25

Yv= -Δ/4a = -25/4.(-2) = -25/-8 = 3.125

Dada a função quadrática f(x) = -2x² + 4x - 9, a coordenada do vértice da função e a coordenada de um par ordenado que se encaixe nesta função é:

a) V = (-7; 1) ; (3; -12)
b) V = (1; -7) ; (2; -9)
c) V = (0; 1) ; (5; -33)
d) V = (-7; 0) ; (-1; -7)
e) V = (0; 0) ; (-2; -21)


Solução

Primeiramente, para se calcular a vértice da função, devemos resolver o delta, igualando a função a zero.
f(x) = -2x² + 4x - 9
-2x² + 4x - 9 = 0

a = -2
b = +4
c = -9

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 4² - 4. -2 . -9
Δ = 16 - 72
Δ = -56

Para se descobrir as vértices desta função, calculemos da seguinte forma:

Vx = -b/2a
Vy = -Δ /4a

Vx = -(+4)/2.(-2)
Vx = -4/-4
Vx = +1

Vy = -Δ /4a
Vy = -(-56)/ 4.(-2)
Vy = +56/-8
Vy = -7

Assim, podemos assimilar que a alternativa correta seria a letra B, mas iremos confirmar o outro par ordenado para confirmarmos essa opção.

(2,-9)
f(x) = -2x² + 4x - 9
-9 = -2(2)² + 4.2 - 9
-9 = -8 + 8 - 9
-9 = -9

Exercício Função afim

Em um jogo de Futebol, o aluguel do campo custa R$ 20,00 e é cobrado uma taxa extra pelo tempo (HORA) que é utilizado R$ 25,00. Sabendo que João, não apenas alugou o campo mas também utilizou por 3 horas. Qual função representa melhor os dados anteriores e qual é valor total à ser pago ?

função que representa melhor os dados - f(x)= ax + b

f(x)= 25,00.x + 20,00

f(x) = 25,00.3 + 20,00

f(x) = 75,00 + 20,00

f(x) = 95,00

Resposta final: O valo total à ser pago é de R$ 95,00

Nome: André Lucas Castro de Abreu
RA: 133778011025
1º Período
Tema: Função Afim

Enunciado: Um motorista de taxi cobra o valor fixo de R$ 4,80 com um acréscimo de mais R$ 0,80 a cada quilômetro rodado.
Determine o valor a ser pago pelo o passageiro após uma corrida relativa a um percurso de 15 quilômetros.

A função a qual iremos usar é f(x) = ax + b.
Iremos usa-la para descobrir f(15).

f(x) = 0,80x + 4,80
f(15) = 0,80 . 15 + 4,80
f(15) = 12 + 4,80
f(15) = 16,80

O valor pago pelo passageiro após o final da corrida é equivalente à R$ 16,20.

Nome: Emanuel da Silva Santos
RA: 333330411025
Série: 1

Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:
f(-10) = 110
f(0) = 10
f(1) = 0

Parte I
a.(-10)^2 + b.(-10) + c =110
100.a -10.b + c = 110

a.(0)^2 + b.(0) + c = 10
c = 10

a.(1)^2 + b.(1) + c = 0
a + b + c = 0

Parte II
a + b + c = 0
a = -b -10

100a -10b + c = 110
100(-b -10) -10b + 10 = 110
-100b -1000 -10b + 10 = 110
-110b -990 = 110
-110b = 990 + 110
-110b = 1100
-b = 1100/110
-b = 10
b = -10

a = - (-10) -10
a = 0

Igor Andrade dos Santos.                                                                                                                                                        período: 1 RA : 330503811025.                                                                                                                                               Calcule o delta da função    y =5x² + 4x +1.                                                                                                        
Resposta:                                                                             ∆= 4² - 4 × 5 × 1.                                                              
∆= 16 - 20.                                                                          
∆=  - 4

Nome: Lucas Emanuel
Ra: 327282611025
1° período


Dada a função f(x) = -(x – 5)^2 – 7, analisar os itens
abaixo:

I – O número de raízes inteiras é igual a 0.
II – A concavidade da parábola é voltada para cima.
III – Uma das raízes inteiras é 5.
Está(ão) CORRETO(S):

a) Somente o item I.
b) Somente o item II.
c) Somente os itens I e III.
d) Somente os itens II e III.

F(X)= -(x-5)^2 – 7.
Simplificando:
F(x)= -x^2 + 10x – 32
x+x^2 -10x +32=0
-9x^2 +32=0
X^2 -9x+32=0

O delta será negativo portanto, como a<0 e ∆<0, a parábola é côncava para baixo e não possui raíz real.

RESPOSTA = a) Somente o item I

Nome: Guilherme Eduardo Antunes Siega
RA: 326643611025
Serie: 1

Enunciado:
Qual é o vértice da função f(x) = 3x² + 6x + 2?

▲ = b² - 4.a.c
▲ = 6² - 4.3.2
▲ = 36 - 24
▲ = 12


Xv = - b/2.a
Xv = -6/2.3
Xv = -1


Yv = -▲/4.a
Yv = -12/4.3
Yv = -1

Vértices: (-1 ; -1)

Determine a função afim f(x)=ax+b, sabendo que f(1)=5 e f(-3)=-7

f(1) = 5
f(1) = a * 1 + b
5 = a + b
a + b = 5

f(-3) = -7
f(-3) = a * (-3) + b
f(-3) = -3a + b
-3a + b = -7

Sistema de equações
{a+b=5
-3a+b=-7

Isolando a na 1º equação

a + b = 5
a = 5 - b

Substituindo o valor de a na 2º equação
-3a + b = -7
-3 * (5 - b) + b = -7
-15 + 3b + b = -7
4b = -7 + 15
4b = 8
b = 2

Substituindo o valor de b na 1º equação

a = 5 - b
a = 5 - 2
a = 3

A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.

Tema:Função Afim

Questão:Determine o zero da função a seguir: f(x) =  x/2 + 4

Solução:  f(x) =  x/2 + 4
                   x/2 + 4 = 0
                     x/2 = - 4
                   x = (– 4) . 2
                      x = – 8

Portanto, o zero da função f(x) = x/2 + 4 é dado por x = – 8.

Nome: Arthur Freitas de Souza
RA: 329057411025
1° Período

• Dada a função quadrática x² - 4x + 3, encontre:

Os zeros da função;

O Vértice;

Solução:

y = 0
x² - 4x + 3

a= 1
b= -4
c= 3

Δ= b² - 4ac
Δ= (-4)² - 4.1.3
Δ= 16 - 12
Δ= 4

x= - b² ± √Δ
.         2a

x = - (-4) ± √4
.          2.1

x = 4 ± 2
.          2

x1 = 4 + 2
.         2

x1 = 6
.         2

x1 = 3

x2 = 4 - 2
.         2

x2 = 2
.       2

x2 = 1
_____________________

x = 0

x² - 4x + 3
0² - 4.0 + 3
3
_____________________

Xv = -b
.        2a

Xv = - (-4)
.          2.1

Xv = 4
.        2

Xv = 2

Yv = -Δ
.        4a

Yv = - 4
.        4.1

Yv= - 4
.        4

Yv= -1

Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância entre os zeros da função é de 4 unidades e o valor mínimo da função é -5.

Solução:
Uma função quadrática tem a seguinte forma:
f(x) = ax² + bx + c

Se a função tem o eixo dos y como eixo de simetria e a distância entre
os zeros da função é de 4 unidades, isso signifique que: f(-2) = 0, f(2) = 0 e f(0) = -5.

Então, o valor de "c" é:
f(0) = -5
a ∙ 0² + b ∙ 0 + c = -5
c = -5

E o valor de "a" e "b" é:
{f(-2) = 0
{f(2) = 0

{a ∙ (-2)² + b ∙ (-2) - 5 = 0
{a ∙ 2² + b ∙ 2 - 5 = 0

{4a - 2b - 5 = 0
{4a + 2b - 5 = 0

Somando as duas equações, obtemos:
8a - 10 = 0 ⇒ a = 5/4
4 ∙ (5/4) + 2b - 5 = 0 ⇒ b = 0

Portanto, a função quadrática é:
f(x) = 5x²/4 - 5

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei  , onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

Resolução:

Conhecendo a função do 2° grau   , seus coeficientes são a = 3/2, b = – 6 e c = C. Vamos então identificar as coordenadas do vértice V da parábola:

xv = – b
         2a
xv = – (– 6)
           2.(3/2)
xv = 6
       3
xv = 2
yv = – Δ
       4a
yv = – (b² – 4.a.c)
          4a
yv = – [(– 6)² – 4.(3/2).C]
        4.(3/2)
yv = – [36 – 2.3.C]
        2.3
yv = – 36 + 6.C
       6
yv = – 6 + C

Mas o vértice está localizado no eixo x, logo yv = 0, portanto, temos:

yv = – 6 + C
0 = – 6 + C
C = 6